вершин (узлов), соединённых рёбрами . В строгом определении графом называется такая пара множеств G = (V , E) {\displaystyle G=(V,E)} , где V {\displaystyle V} есть подмножество любого счётного множества , а E {\displaystyle E} - подмножество V × V {\displaystyle V\times V} .

Теория графов находит применение, например, в геоинформационных системах (ГИС). Существующие или вновь проектируемые дома, сооружения, кварталы и т. п. рассматриваются как вершины, а соединяющие их дороги, инженерные сети, линии электропередачи и т. п. - как рёбра. Применение различных вычислений, производимых на таком графе, позволяет, например, найти кратчайший объездной путь или ближайший продуктовый магазин, спланировать оптимальный маршрут.

Теория графов содержит большое количество нерешённых проблем и пока не доказанных гипотез.

История возникновения теории графов

Родоначальником теории графов считается Леонард Эйлер . В 1736 году в одном из своих писем он формулирует и предлагает решение задачи о семи кёнигсбергских мостах , ставшей впоследствии одной из классических задач теории графов. Термин «граф» впервые ввел Сильвестр, Джеймс Джозеф в 1878 году в своей статье в Nature [ ] .

Терминология теории графов

Применение теории графов

См. также

Примечания

Литература

• Дистель Р. Теория графов Пер. с англ. - Новосибирск: Издательство института математики, 2002. - 336 с. ISBN 5-86134-101-X .
• Diestel R. Graph Theory, Electronic Edition . - NY: Springer-Verlag, 2005. - С. 422.
• Басакер Р., Саати Т. Конечные графы и сети. М.: Наука, 1974. 368c.
• Белов В. В., Воробьев Е. М., Шаталов В. Е. Теория графов. - М. : Высш. школа, 1976. - С. 392.
• Берж К. Теория графов и её приложения. М.: ИЛ, 1962. 320c.
• Емеличев В. А., Мельников О. И., Сарванов В. И., Тышкевич Р. И. Лекции по теории графов. М.: Наука, 1990. 384с. (Изд.2, испр. М.: УРСС, 2009. 392 с.)

нем. Graf), дворянский титул. В России введен Петром I (первым его получил в 1706 Б. П. Шереметев). В конце 19 в. учтено свыше 300 графских родов. Ликвидирован Декретом ВЦИК и Совнаркома от 11.11.1917.

Отличное определение

Неполное определение ↓

Граф

Антон (Graf, Anton) 1736, Винтертур - 1813, Дрезден. Немецкий живописец. Учился в 1753-1756 у И. У. Шелленберга в Винтертуре, затем у И. Я. Хайда в Аугсбурге. Работал как портретист в Регенсбурге, Винтертуре, Аугсбурге, Мюнхене, Цюрихе. С 1766 - придворный художник в Дрездене. С 1789 - профессор дрезденской Академии художеств. Член берлинской, венской, мюнхенской академий художеств. Много путешествовал по Германии и Швейцарии. Портретист, писал также пейзажи, занимался миниатюрой. Ранние произведения художника исполнены в традиции парадного барочного портрета. Образы знатных особ королевского дворца Пруссии полны торжественности и представительности в портретах Фридрих, принц Прусский (1777-1778), Фредерика, принцесса Прусская (1787), Фридрих Вильгельм II, король Пруссии (1788, все - Берлин, Шарлоттенбург). Сильная светотень и теплая колористическая гамма свидетельствуют об увлечении молодого художника манерой Рембрандта. В 1780-1790-е Граф часто пишет модели на фоне пейзажа, несколько смягчающего напряженность, статику фигур в его портретах (Генрих VIII, 1804, Германия, частное собрание; И. Ф. фон Тильман, Нюрнберг, Германский нац. музей). В духе неоклассицистических вкусов эпохи изображает портретируемых в виде античных граций в пейзаже (Фредерика Хиллендорф, 1803, Германия, частное собрание). Более глубоки по передаче внутреннего состояния портреты близких художнику людей: Художник К. К. Люнвиг (1808, Гамбург, Кунстхалле), лирические женские образы - Луиза Элизабета Функ (1790, Лейпциг, Музей изобразительных искусств), Каролина Сюзанна Граф (1805, Гамбург, Кунстхалле). Тонкой светотеневой моделировкой подчеркнута присущая образам Графа четкая пластика фигур. Воздушное сфумато, окутывающее фигуры, свидетельствует об изучении приемов английского портрета XVIII в. Портреты выдающихся деятелей эпохи Просвещения - С. Гесснера (1765-1766, Цюрих, Кунстхалле), Г. Э. Лессинга (1771, Лейпциг, библиотека Университета), К. М. Виланда (1794, Веймар, Музей Гете), И. Г. Зульцера (1771, Винтертур, Кунстхалле) - пожалуй, самое значительное, что было создано художником. В портретах тестя художника И. Г. Зульцера, известного немецкого философа, эстетика и математика, и С. Гесснера, швейцарского поэта, автора поэтического сборника Идиллии (1756), Граф использует схему барочного портрета, изображая модели в момент как бы прерванного движения. Подлинный художник века Просвещения, Граф стремится раскрыть одухотворенность и светлый ум людей, ставших культурным достоянием нации. Портреты написаны на темном фоне, как и ряд других поздних произведений (Х. И. Медем, 1796; Г. Л. Гогель, 1796, оба - Санкт-Петербург, Гос. Эрмитаж). Интерес к психологически углубленной разработке образа присущ и автопортретам художника. В ранних автопортретах 1765 (Нью-Йорк, Историческое общество) и 1766 (Дрезден, Картинная галерея) мотив прерванного движения вносит некоторую традиционность в композиционное решение. Поздние работы (1794-1795, Дрезден, Картинная галерея; 1808, Винтертур, Кунстхалле) создают образ художника, чье творчество обозначило многие важные явления немецкой культуры XVIII в., закладывая традиции реалистической образности последующего столетия. В поздний период художником был написан ряд пейзажей, характеризующих прекрасное владение рисунком с натуры, интерес к пленэру, разработке проблемы "пейзажа настроения" (Вид окрестностей Дрездена, 1800; Утро, ок. 1800; Полдень, ок. 1800; Вечер, ок. 1800, все - Дрезден, Картинная галерея).

Учебное издание

Ююкин Николай Алексеевич

ЛР № . Подписано в печать

Уч. Изд. л.. , .

Воронежский государственный технический университет

394026 Воронеж, Московский просп. 14

СПРАВОЧНИК МАГНИТНОГО ДИСКА

Кафедра высшей математики и физико-математического моделирования

Н.А. Ююкин

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА Часть 1. Элементы теории графов

Учебное пособие

Н.А. Ююкин

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА Часть 1. Элементы теории графов

Учебное пособие

Воронеж 2004

ВВЕДЕНИЕ

Данное пособие может быть использовано в курсе “Дискретная математика” студентами ВГТУ, обучающимися по специальностям:

090102 – Компьютерная безопасность;

090105 – Комплексное обеспечение информационной безопасности автоматизированных систем;

090106 - Информационная безопасность телекоммуникационных систем.

Дисциплина “Дискретная математика” обеспечивает приобретение знаний и умений в соответствии с государственным, общеобразовательным стандартом, и при этом содействует получению фундаментального образования, формированию мировоззрения и развитию логического мышления.

Теория графов является эффективным аппаратом формализации современных инженерных задач, связанных с дискретными объектами. Она используется при проектировании интегральных схем и схем управления, исследовании автоматов и логических цепей, в системном анализе, автоматизированном управлении производством, при разработке вычислительных и информационных сетей, в схемотехническом и кон- структорско-топологическом проектировании и т.д.

В учебном пособии излагаются основы, базовые методы и алгоритмы теории графов. Здесь представлены н-графы и орграфы; изоморфизмы; деревья; эйлеровы графы; планарные графы; покрытия и независимые множества; сильная связность

в орграфах; анализ графа цепи Маркова; алгоритмы поиска кратчайших путей в графах; задача поиска гамильтонова цикла

в графе; задача о коммивояжере; перечисление графов и отображений; экстремальные задачи; оптимизационные задачи; универсальные задачи; метод ветвей и границ; а также вырабатываются практические навыки по использованию вышеприведенных понятий.

Целью курса является формирование у студентов теоретических знаний, практических умений и навыков в области моделирования процессов и явлений в естествознании и техни-

ке, с возможностью употребления математических символов для выражения количественных и качественных отношений объектов, необходимых для выполнения служебной деятельности в области защиты информации на высоком профессиональном уровне.

Достижению данной цели служат следующие задачи:

изучить максимально широкий круг понятий теории графов;

получить навыки решения учебных и практических задач;

овладеть методами оптимизации;

выработать навыки постановки и решения информационных задач, моделирования и анализа информации с помощью графов.

Дисциплина “Дискретная математика” относится к числу прикладных математических дисциплин. Она основывается на знаниях, приобретенных студентами при изучении дисциплин “Алгебра” и “Математическая логика и теория алгоритмов”. Знания и навыки, полученные при изучении дисциплины “Дискретная математика” используются при изучении общепрофессиональных и специальных дисциплин.

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРАФОВ.

1.1. Задачи теории графов.

Теория графов - это раздел математики, изучающий системы связей между различными объектами, точно так же как это делается с помощью понятия отношения. Однако независимое определение графа упрощает изложение теории и делает её более понятной и наглядной.

Первые задачи теории графов были связаны с решением развлекательных задач и головоломок.

Первая задача . Задача о Кенигсбергских мостах была поставлена и решена Эйлером в 1786 году. Город располагался на берегах и двух островах реки Преголи. Острова между собой и берегами были связаны семью мостами, как показано на рисунке.

Возникал вопрос: можно ли выйдя из дома, вернуться обратно, проходя по каждому мосту ровно один раз?

Вторая задача . Задача о трех домах и трех колодцах. Имеется три дома и три колодца.

Требуется провести от каждого дома к каждому колодцу тропинку так, чтобы тропинки не пересекались. Задача была

решена Понтрягиным и независимо от него Куратовским в

Третья задача . О четырех красках. Любую карту на плоскости раскрасить четырьмя красками так, чтобы никакие две соседние области не были закрашены одним цветом.

Многие результаты теории графов используются для решения практических задач науки и техники. Так, в середине 19 века Кирхгоф применил теорию графов для расчета сложных электрических цепей. Однако, как математическая дисциплина, теория графов сформировалась только в 30-ых годах 20го века. При этом графы рассматриваются как некоторые абстрактные математические объекты. Они применяются при анализе и синтезе цепей и систем, в сетевом планировании и управлении, исследовании операций, программировании, моделировании жизнедеятельности организма и других областях.

1.2. Основные определения.

Графом G= (V,E ) называется совокупность двух множеств - непустого множества вершин V и множества неупорядоченных и упорядоченных пар вершин E . В дальнейшем будут рассматриваться конечные графы , т.е. графы с конечным множеством вершин и конечным семейством пар. Неупорядоченная пара вершин называется ребром , а упорядоченная - дугой .

Обычно граф изображается диаграммой : вершины - точками (или кружками), ребра – линиями произвольной конфигурации. На дуге дополнительно стрелкой указывается её направление. Отметим, что при изображении графа несуще-

ственны геометрические свойства ребер (длина, кривизна), а также взаимное расположение вершин на плоскости.

Вершины, которые не принадлежат ни одному ребру (дуге) называются изолированными. Вершины, соединенные ребром или дугой называются смежными . Ребро (дуга) и любая из его двух вершин называются инцидентными .

Говорят, что ребро (u,v ) соединяет вершины u и v , а дуга (u,v) начинается в вершине u и заканчивается в вершине v , при этом u называется началом , а v – концом этой дуги.

Пара вершин может соединяться двумя или более ребрами (дугами одного направления). Такие ребра (дуги) называются кратными . Дуга (или ребро) может начинаться или кончаться в одной и той же вершине. Такая дуга (ребро) называется петлёй . Граф, содержащий петли, называется псевдо графом . Граф, имеющий кратные ребра (дуги), называется мультиграфом .

Граф, без петель и кратных ребер, называется простым . Простой граф называется полным , если для любой пары его вершин существует ребро (дуга) их соединяющая. Полный граф, имеющий n вершин обозначается через K n . Например, это графы

Граф, состоящий из одной изолированной вершины (K 1 ), называется тривиальным .

Дополнением графа G называется граф G , имеющий те же вершины, что и граф G и содержащий те ребра, которые нужно добавить к графу G чтобы получить полный граф.

Каждому неорграфу канонически соответствует ориентированный граф с тем же множеством вершин, в котором каждое ребро заменено двумя дугами, инцидентными тем же вершинам и имеющих противоположные направления.

1.3. Степени вершин графа.

Степенью (валентностью) (обозначение d (v ) или deg (v )) вершины v простого графа G называется число ребер или дуг инцидентных данной вершине v . При подсчете валентности вершин псевдографа следует учитывать каждую петлю дважды.

Если степени всех вершин н-графа равны k , то граф называется регулярным (однородным) степени k . Если степень вершины равна 0 , то она является изолированной . Если степень вершины равна 1 , то вершина называется концевой (висячей, тупиковой).

Для орграфа число дуг исходящих из вершины v назы-

вается полустепенью исхода										(v ), а входящих – полустепе-
нью захода d							(v ), При этом справедливо соотношение d (v )=
		(v )+			(v ).

Теорема Эйлера : Сумма степеней вершин графа равна

удвоенному количеству ребер, т.е.

d (vi )

			(v )

Где n – число вершин; m – число

ребер (дуг). Данное утверждение доказывается тем, что при подсчете суммы степеней вершин каждое ребро учитывается два раза - для одного конца ребра и для другого.

1.4. Изоморфизм графов.

Граф называется помеченным (или перенумерованным), если его вершины отличаются друг от друга какими либо по-

метками (номерами). Граф считается полностью заданным в строгом смысле , если нумерация его вершин и ребер фиксирована. При этом графы G 1 и G 2 называются равными (обозначение G 1 = G 2 ) , , если их множества вершин и ребер совпадают. Два графа или псевдографа G 1 = (V 1 ,E 1 ) и G 2 = (V 2 ,E 2 ) называют-

	изоморфными (обозначение G				если существуют
	взаимно однозначных отображения: 1)				: V 1 V 2
: E 1 E 2 такие, что для любых двух вершин u , v в графе
	справедливо соотношение ((u , v )) ((u ), (v )) .
	Два простых графа (без петель и кратных ребер) G 1					и G 2

оказываются изоморфными, если существуют взаимно одно-

значное отображение

: V 1 V 2

Такое что

(u , v ) ((u ), (v )) .

Таким образом, изоморфными являются графы, которые отличаются только нумерацией вершин и ребер. Изоморфизм графов представляет собой отношение эквивалентности, поскольку оно обладает свойствами:

Рефлексивности -

G 1 ,

причем биекция

ставляет собой тождественную функцию.

Симметричности.

с биекцией

с биекцией

Транзитивности.

G 1 G 2

биекцией

1 ,а

с биекцией

то G G

с биекцией

2 (1 ) .

Введение

Начало теории графов как математической дисциплины было положено Эйлером в его знаменитом рассуждении о Кенигсбергских мостах. Однако эта статья Эйлера 1736 года была единственной в течение почти ста лет. Интерес к проблемам теории графов возродился около середины прошлого столетия и был сосредоточен главным образом в Англии. Имелось много причин для такого оживления изучения графов. Естественные науки оказали свое влияние на это благодаря исследованиям электрических цепей, моделей кристаллов и структур молекул. Развитие формальной логики привело к изучению бинарных отношений в форме графов. Большое число популярных головоломок подавалось формулировкам непосредственно в терминах графов, и это приводило к пониманию, что многие задачи такого рода содержат некоторое математическое ядро, важность которого выходит за рамки конкретного вопроса. Наиболее знаменитая среди этих задач-проблема четырех красок, впервые поставленная перед математиками Де Морганом около 1850 года. Никакая проблема не вызывала столь многочисленных и остроумных работ в области теории графов.

Настоящее столетие было свидетелем неуклонного развития теории графов, которая за последние десять - двадцать лет вступила в новый период интенсивных разработок. В этом процессе явно заметно влияние запросов новых областей: теории игр и программирования, теории передачи сообщений, электрических сетей и контактных цепей, а также проблем психологии и биологии.

Вследствие этого развития предмет теории графов является уже обширным, что все его основные направления невозможно изложить в одном томе. В настоящем первом томе предлагаемого двухтомного труда сделан акцепт на основные понятия и на результаты, вызывающие особый систематический интерес.

Теоретическая часть

История возникновения теории графов

1. Задача о Кенигсбергских мостах. На рис. 1 представлен схематический план центральной части города Кенигсберг (ныне Калининград), включающий два берега реки Перголя, два острова в ней и семь соединяющих мостов. Задача состоит в том, чтобы обойти все четыре части суши, пройдя по каждому мосту один раз, и вернуться в исходную точку. Эта задача была решена (показано, что решение не существует) Эйлером в 1736 году.

Рис. 1.

2. Задача о трех домах и трех колодцах. Имеется три дома и три колодца, каким-то образом расположенные на плоскости. Провести от каждого дома к каждому колодцу тропинку так, чтобы тропинки не пересекались (рис. 2). Эта задача была решена (показано, что решение не существует) Куратовским в 1930 году .

Рис. 2

3. Задача о четырех красках. Разбиение на плоскости на непересекающиеся области называется картой. Области на карте называются соседними, если они имеют общую границу. Задача состоит в раскрашивании карты таким образом, чтобы никакие две соседние области не были закрашены одним цветом (рис. 3). С конца позапрошлого века известна гипотеза, что для этого достаточно четырех красок. В 1976 году Аппель и Хейкен опубликовали решение задачи о четырех красках, которое базировалось на переборе вариантов с помощью компьютера. Решение этой задачи «программным путем» явилось прецедентом, породившим бурную дискуссию, которая отнюдь не закончена. Суть опубликованного решения состоит в том, чтобы перебрать большое, но конечное число (около 2000) типов потенциальных контрпримеров к теореме о четырех красках и показать, что ни один случай контрпримером не является. Этот перебор был выполнен программой примерно за тысячу часов работы суперкомпьютера. Проверить «вручную» полученное решение невозможно - объем перебора выходит далеко за рамки человеческих возможностей. Многие математики ставят вопрос: можно ли считать такое «программное доказательство» действительным доказательством? Ведь в программе могут быть ошибки… Методы формального доказательства правильности программ не применимы к программам такой сложности, как обсуждаемая. Тестирование не может гарантировать отсутствие ошибок и в данном случае вообще невозможно. Таким образом, остается уповать на программистскую квалификацию авторов и верить, что они сделали все правильно.

Исторически сложилось так, что теория графов зародилась двести с лишним лет назад именно в ходе решения головоломок. Очень долго она находилась в стороне от главных направлений исследований ученых, была в царстве математики на положении Золушки, чьи дарования раскрылись в полной мере лишь тогда, когда она оказалась в центре общего внимания.

Первая работа по теории графов, принадлежащая известному швейцарскому математику Л. Эйлеру, появилась в 1736 г. Толчок к развитию теория графов получила на рубеже ХIX и ХХ столетий, когда резко возросло число работ в области топологии и комбинаторики, с которыми ее связывают самые тесные узы родства. Графы стали использоваться при построении схем электрических цепей и молекулярных схем. Как отдельная математическая дисциплина теория графов была впервые представлена в работе венгерского математика Кенига в 30-е годы ХХ столетия.

В последнее время графы и связанные с ними методы исследований органически пронизывают на разных уровнях едва ли не всю современную математику. Теория графов рассматривается как одна из ветвей топологии; непосредственное отношение она имеет также к алгебре и к теории чисел. Графы эффективно используются в теории планирования и управления, теории расписаний, социологии, математической лингвистике, экономике, биологии, медицине, географии. Широкое применение находят графы в таких областях, как программирование, теория конечных автоматов, электроника, в решении вероятностных и комбинаторных задач, нахождении максимального потока в сети, кратчайшего расстояния, максимального паросочетания, проверки планарности графа и др. Как особый класс можно выделить задачи оптимизации на графах. Математические развлечения и головоломки тоже являются частью теории графов, например, знаменитая проблема четырех красок, интригующая математиков и по сей день. Теория графов быстро развивается, находит все новые приложения и ждет молодых исследователей.

Теория графов дает простой и мощный инструмент построения моделей и решения задач упорядочения объектов. В настоящее время существует множество проблем, где требуется построить некоторые сложные системы с помощью определенного упорядочения их элементов. Сюда относятся календарное планирование промышленного производства, задачи теории сетевого планирования и управления, тактические и логические задачи, проблемы построения систем связи и исследования процессов передачи информации, выбор оптимальных маршрутов и потоков в сетях, методы построения электрических сетей, задачи идентификации в органической химии и способы переключения переключательных схем. Таким же является большой круг экономических задач, проблемы выбора структуры социальных групп и т.д. Таким образом, область возможных применений теории графов очень широка. Комбинаторные методы нахождения нужного упорядочения объектов существенно отличаются от классических методов анализа поведения систем с помощью уравнений. Кроме языка теории графов, задачи упорядочения объектов можно формулировать в терминах теории матриц с элементами ноль - один.

С полным основанием можно сказать, что теория графов является одним из простейших и наиболее элегантных разделов современной математики с широкой областью применения. Имея в своей основе простейшие идеи и элементы: точки, соединенные линиями, теория графов строит из них богатое многообразие форм, наделяет эти формы интересными свойствами и в результате становится полезным инструментом при исследовании самых разнообразных систем. Кроме того, теория графов внесла большой вклад в разработку методов анализа широкого круга комбинаторных проблем. Если помимо основных чисто структурных соотношений в графе задаются некоторые количественные характеристики точек и линий, образующих граф, тогда вместо понятий графа можно использовать понятие сеть. В качестве примеров можно назвать электрические сети, сети выполнения работ в проектах сети потоков. При этом ребром сети ставятся в соответствие определенные количественные характеристики энергии, затрат и потока.